Старая школа – сайт с избранными учебниками по математике и русскому языку

§ 210. Краткий обзор свойств и графиков  ранее   изученных  функций

В этом параграфе мы дадим краткий обзор свойств и графиков ранее изученных функций. При этом  мы будем придерживаться   следующего   плана:

1)   область   определения   функции;
2)  область изменения функции;
3)  четность функции;
4)  периодичность функции;
5)  интервалы знакопостоянства;
6)  нули функции, то есть те значения аргумента, при которых функция обращается в нуль;
7)  монотонность функции;
8)  локальные экстремумы функции;
9)  поведение функции вблизи «особых» точек (например, функции  у = ¹/_x   вблизи    точки х = 0).

Впрочем, порядок этот не является обязательным и в некоторых случаях для пользы дела может быть смело изменен. Отметим лишь, что осуществление каждого пункта плана всегда полезно сопровождать геометрической интерпретацией на графике исследуемой функции.

1. Квадратная функция    у = ax² + bx + c   (а =/= 0)

Эта функция определена для всех значений х, так что областью ее определения служит совокупность всех действительных чисел. Графиком квадратной функции служит парабола, вершина которой  имеет  координаты    ( https://imgprx.livejournal.net/24375e22964219218011f505281bc9055bb7052d/7d2RHgiH5bblG5U0aQzoUdIXfha976VgIyW79dBMdNhm0ttj_9XHfl7tCkUnJMaN9KWSAksG2OMySdxau3Cl7h2soq7JrsG30_JL_IT-pAA https://imgprx.livejournal.net/677690887a5f42581e52f1bce9c2fc9e7aa7679e/7d2RHgiH5bblG5U0aQzoUdIXfha976VgIyW79dBMdNhm0ttj_9XHfl7tCkUnJMaNN8r6kf8Eg3z9HdN-_i2aD6-197EKIETTW0OZKsnPNJE  ) При а > 0   парабола направлена вверх (рис. 287), а при а < 0 — вниз (рис. 288).

https://imgprx.livejournal.net/08891f60fdc90046b3d42d5866a727a148cb1959/7d2RHgiH5bblG5U0aQzoUdIXfha976VgIyW79dBMdNhm0ttj_9XHfl7tCkUnJMaN7iBD151L03Z2jhNK2J61OBWdHDW7ESVhet9kU4ia0sE     https://imgprx.livejournal.net/29115de1bec29c18c406f79e42af9638da40bb5b/7d2RHgiH5bblG5U0aQzoUdIXfha976VgIyW79dBMdNhm0ttj_9XHfl7tCkUnJMaNYKYFjQZbzbe5pyZMUFyOq8QK5Ppf64XXUOLJixZi0W8

Если а > 0, то областью изменения данной функции является совокупность всех чисел, больших или равных https://imgprx.livejournal.net/677690887a5f42581e52f1bce9c2fc9e7aa7679e/7d2RHgiH5bblG5U0aQzoUdIXfha976VgIyW79dBMdNhm0ttj_9XHfl7tCkUnJMaNN8r6kf8Eg3z9HdN-_i2aD6-197EKIETTW0OZKsnPNJE ; если же а < 0, то областью изменения ее служит множество всех чисел, меньших или равных https://imgprx.livejournal.net/677690887a5f42581e52f1bce9c2fc9e7aa7679e/7d2RHgiH5bblG5U0aQzoUdIXfha976VgIyW79dBMdNhm0ttj_9XHfl7tCkUnJMaNN8r6kf8Eg3z9HdN-_i2aD6-197EKIETTW0OZKsnPNJE  .

При b =/= 0 функция у = ax² + bx + c  не будет ни четной, ни  нечетной,  поскольку   ни  одно  из равенств

ax² — bx + c = ax² + bx + c,

[f(— х) = f (x)]

и

ax² — bx + c = = — (ax² + bx + c),

[f(— х) = — f (x)]

не выполняется тождественно.

При b = 0 квадратная функция принимает вид у = ax² + c и потому является четной функцией.

Данная функция  непериодична. Если дискриминант

d = b² — 4ас

отрицателен, то функция не имеет нулей. В этом случае все ее значения имеют один и тот же знак — знак коэффициента а (см. рис. 289 для а > 0 и рис. 290 для а < 0).

https://imgprx.livejournal.net/375393f792d4f52aeda6a38026a7f507aaa9e8b4/7d2RHgiH5bblG5U0aQzoUdIXfha976VgIyW79dBMdNhm0ttj_9XHfl7tCkUnJMaN1OBeIrkGki1Oz1KS9b9ptncCKW-Dbkz4QBBjLVQmD44   https://imgprx.livejournal.net/b4431ad432863c9f3d1fca0327c18a261a7aec0f/7d2RHgiH5bblG5U0aQzoUdIXfha976VgIyW79dBMdNhm0ttj_9XHfl7tCkUnJMaNouutjcMerdTkIuvvAhHtXXOxQOef7LfdOd_YTJa6rME

Если дискриминант d положителен, то функция имеет два нуля:

https://imgprx.livejournal.net/e6f8b70eefa9ac131e8c91b14f20453ab41d32d0/7d2RHgiH5bblG5U0aQzoUdIXfha976VgIyW79dBMdNhm0ttj_9XHfl7tCkUnJMaN0_BqkSxo7cyz-T8oTTXt-A2Y40kqtzAYofpD8m2MKHk

Если к тому же а > 0, то функция положительна при х < x₁ и х > x₂, а отрицательна при x₁ < х < x₂ (см. рис. 287).

В случае, когда d > 0, а а < 0, функция положительна при x₁ < х < x₂, а отрицательна при х < x₁   и  х > x₂ (см. рис. 288).

Наконец, возможен и случай, когда d = 0.  Тогда квадратная функция имеет единственный нуль

x = https://imgprx.livejournal.net/24375e22964219218011f505281bc9055bb7052d/7d2RHgiH5bblG5U0aQzoUdIXfha976VgIyW79dBMdNhm0ttj_9XHfl7tCkUnJMaN9KWSAksG2OMySdxau3Cl7h2soq7JrsG30_JL_IT-pAA

При всех значениях х =/= https://imgprx.livejournal.net/24375e22964219218011f505281bc9055bb7052d/7d2RHgiH5bblG5U0aQzoUdIXfha976VgIyW79dBMdNhm0ttj_9XHfl7tCkUnJMaN9KWSAksG2OMySdxau3Cl7h2soq7JrsG30_JL_IT-pAA  она сохраняет один и тот же знак — знак коэффициента а.

В случае, когда а > 0, квадратная функция у = ax² + bx + c

монотонно убывает при х < https://imgprx.livejournal.net/24375e22964219218011f505281bc9055bb7052d/7d2RHgiH5bblG5U0aQzoUdIXfha976VgIyW79dBMdNhm0ttj_9XHfl7tCkUnJMaN9KWSAksG2OMySdxau3Cl7h2soq7JrsG30_JL_IT-pAA  и   монотонно   возрастает  при х  > https://imgprx.livejournal.net/24375e22964219218011f505281bc9055bb7052d/7d2RHgiH5bblG5U0aQzoUdIXfha976VgIyW79dBMdNhm0ttj_9XHfl7tCkUnJMaN9KWSAksG2OMySdxau3Cl7h2soq7JrsG30_JL_IT-pAA (см. рис. 287 и рис. 289).

В случае,  когда а <. 0, она, наоборот, монотонно возрастает при х  < https://imgprx.livejournal.net/24375e22964219218011f505281bc9055bb7052d/7d2RHgiH5bblG5U0aQzoUdIXfha976VgIyW79dBMdNhm0ttj_9XHfl7tCkUnJMaN9KWSAksG2OMySdxau3Cl7h2soq7JrsG30_JL_IT-pAA   и монотонно убывает при   х > https://imgprx.livejournal.net/24375e22964219218011f505281bc9055bb7052d/7d2RHgiH5bblG5U0aQzoUdIXfha976VgIyW79dBMdNhm0ttj_9XHfl7tCkUnJMaN9KWSAksG2OMySdxau3Cl7h2soq7JrsG30_JL_IT-pAA    (см. рис. 288 и рис. 290).

Данная функция имеет единственный локальный экстремум

y _экстр = https://imgprx.livejournal.net/677690887a5f42581e52f1bce9c2fc9e7aa7679e/7d2RHgiH5bblG5U0aQzoUdIXfha976VgIyW79dBMdNhm0ttj_9XHfl7tCkUnJMaNN8r6kf8Eg3z9HdN-_i2aD6-197EKIETTW0OZKsnPNJE

Этот экстремум достигается при х = https://imgprx.livejournal.net/24375e22964219218011f505281bc9055bb7052d/7d2RHgiH5bblG5U0aQzoUdIXfha976VgIyW79dBMdNhm0ttj_9XHfl7tCkUnJMaN9KWSAksG2OMySdxau3Cl7h2soq7JrsG30_JL_IT-pAA   и является минимумом при а > 0 (рис. 287 и рис. 289) и максимумом при а < 0 (рис. 288 и рис. 290).

2. Степенная функция   у = х^r.

Область определения такой функции зависит от r.

Например, при r = 1 (у = х) это будет совокупность всех действительных   чисел,    при r = ¹/₂  ( у = √x) — совокупность неотрицательных чисел, при r = 0 ( у = х⁰ ) — совокупность всех чисел, кроме 0. Для положительных значений х функция у = х^r определена всегда, независимо от того, чему равно r.

Область изменения функции у = х^r  также зависит от r. Например, функция у = х (r = 1) может принимать все действительные значения, функция у = x² (r = 2) — только   неотрицательные   значения, а функция у = х⁰ (r = 0) — лишь одно значение, равное 1.

Среди степенных  функций есть четные и нечетные. Например, функции у = x², у = x⁴   — четные, а функции у = x³, у = x^—3 — нечетные. Некоторые степенные функции (например, у = √x) определены лишь для неотрицательных значений аргумента. Для них ставить вопрос о четности не имеет смысла.

Степенная функция у = х^r непериодична.

При х > 0 степенная функция у = х^r  независимо от r  положительна.

Некоторые степенные функции (например, у = ¹/_x, у = х^—3/2 не имеют нулей, для других же нулем является число 0 (например, для функций у = √x  , у = x³) и т. д.;

Если число r положительно, то при х > 0 степенная функция у = х^r монотонно возрастает (рис. 291). Если же r отрицательно, то при х  > 0 степенная функция у = х^r монотонно убывает (рис. 292).

https://imgprx.livejournal.net/1878b0b728b1984a5536dc2d8afe9f505f9f00ed/7d2RHgiH5bblG5U0aQzoUdIXfha976VgIyW79dBMdNhm0ttj_9XHfl7tCkUnJMaNPBfmt_hY29CGJAHtzlE7FxkF0M5TmtOuvpP7CmY0lr0   https://imgprx.livejournal.net/6b5fd921933d173b4771b7b5e1801e2960c4eae2/7d2RHgiH5bblG5U0aQzoUdIXfha976VgIyW79dBMdNhm0ttj_9XHfl7tCkUnJMaN9RYAww0xWXCv-5PkeYD-_sHpYqH-ke4a5d7cflwezgA

Некоторые степенные функции, например у = x², у = x⁴, имеют локальный минимум в точке х = 0.

Отметим еще поведение функций у = ¹/_x и у = https://imgprx.livejournal.net/6509e5301e407059cebf9b2d51ae0ad5227e248c/7d2RHgiH5bblG5U0aQzoUdIXfha976VgIyW79dBMdNhm0ttj_9XHfl7tCkUnJMaNBoofB-UsvL1Za6q3bw5gHTjp5iiJtzazKePM-3qcha8   вблизи   точки  х = 0.

Когда х  стремится   к   нулю, оставаясь положительным, функция у = ¹/_x неограниченно возрастает. Когда же х стремится  к нулю,  оставаясь отрицательным,  она неограниченно   убывает (рис. 293).

https://imgprx.livejournal.net/693383851261f92283133d07e8a8966f8b444089/7d2RHgiH5bblG5U0aQzoUdIXfha976VgIyW79dBMdNhm0ttj_9XHfl7tCkUnJMaN9Xlmd1pSwtDQxVLY6CaL-WRjK6-xUJ3IODxpiBuupPc

Функция у = https://imgprx.livejournal.net/6509e5301e407059cebf9b2d51ae0ad5227e248c/7d2RHgiH5bblG5U0aQzoUdIXfha976VgIyW79dBMdNhm0ttj_9XHfl7tCkUnJMaNBoofB-UsvL1Za6q3bw5gHTjp5iiJtzazKePM-3qcha8  при приближении х к нулю (как слева,  так и справа) неограниченно возрастает (рис. 294).

https://imgprx.livejournal.net/81448728c2806ac0df0b0de337a3a85a3679d35e/7d2RHgiH5bblG5U0aQzoUdIXfha976VgIyW79dBMdNhm0ttj_9XHfl7tCkUnJMaNsMN_YzQFM-fbjZCI1XOleaL-7Rq7825hvUwj_DHhKuM

3. Тригонометрические функции

Из  тригонометрических  функций   мы  рассмотрим   лишь  две функции: у = sin х   и    у = tg x.

Областью определения функции у = sin х является совокупность всех действительных чисел, а областью изменения — совокупность всех чисел, заключенных в интервале [— 1,1].

Функция является нечетной и периодической с периодом 2π .

В интервалах 2πп < x < π + 2πп  эта функция положительна,
а в интервалах π + 2πп  < x <  2π + 2πп  отрицательна (рис. 295).

https://imgprx.livejournal.net/58ad79089d5633414f689ef4c9031742718cf65d/7d2RHgiH5bblG5U0aQzoUdIXfha976VgIyW79dBMdNhm0ttj_9XHfl7tCkUnJMaN14dqhMX74BAqQzjrl9sTG1gmK0nw_ChopeBJIwlrIL8

При х = πп она обращается в нуль.

В интервалах — ^π/₂ + 2πп < х < ^π/₂ + 2πп функция монотонно возрастает, а в интервалах    ^π/₂ + 2πп < х < ³/₂ π + 2πп  монотонно убывает.

Точки х = ^π/₂ + 2πп являются точками локального максимума функции у = sin х . В них она принимает   наибольшие   значения, равные 1. Точки х = — ^π/₂ + 2πп являются точками локального минимума. В них функция принимает наименьшие значения, равные — 1.

Функция у = tg x определена при   всех   значениях х,   кроме х = ^π/₂ + πп. Областью ее изменения является совокупность всех действительных чисел.

Эта функция нечетна и периодична с периодом π (рис. 296).

https://imgprx.livejournal.net/6d407ba98ff401df01bf7ee054ec63dadeee2264/7d2RHgiH5bblG5U0aQzoUdIXfha976VgIyW79dBMdNhm0ttj_9XHfl7tCkUnJMaNWXPSWHP-qon1m1K2Lu_aEY1vIe0Z351VwPaRTvJNZgs

В интервалах πп < х < ^π/₂ + πп она положительна, а в интервалах — ^π/₂ + πп < х < πп отрицательна. При х = πп функция обращается в нуль. В каждом интервале, не содержащем точек х = ^π/₂ + πп, эта функция монотонно возрастает. Локальных экстремумов функция не имеет. Когда значения х неограниченно приближаются к ^π/₂ + πп, оставаясь меньше ^π/₂ + πп, значения функции у = tg x неограниченно возрастают. Когда же значения х неограниченно приближаются  к ^π/₂ + πп, оставаясь больше этих значений, функция у = tg x неограниченно убывает.

4.  Показательная функция   у = а^х    (а >0,  а =/= 1)

Областью определения этой функции  является совокупность всех действительных чисел, а областью изменения — совокупность всех положительных чисел. Функция не является ни четной, ни нечетной. Не является она и периодической. При всех значениях аргумента х эта функция положительна. При а > 1 показательная функция у = а^х является монотонно возрастающей (рис. 297), а при а < 1 — монотонно убывающей (рис. 298). Точек локальных экстремумов функция не имеет.

https://imgprx.livejournal.net/00afdd4372aaed4e7626f42c4bc5a71092e03781/7d2RHgiH5bblG5U0aQzoUdIXfha976VgIyW79dBMdNhm0ttj_9XHfl7tCkUnJMaNMuf19oAyeas9DIpzb5I5QXjlDbXXsIYh25yLeM08_b4 https://imgprx.livejournal.net/99809b4cf6fbc58f6f0144dbc8fb6dc69b2f1e0a/7d2RHgiH5bblG5U0aQzoUdIXfha976VgIyW79dBMdNhm0ttj_9XHfl7tCkUnJMaNpFWnj5vSKSHkmsfxKrEzbupylb4SgtwUtQumg2-ebPU

5. Логарифмическая функция у = log_a x    (а >0,  а =/= 1)

Областью определения этой функции является совокупность всех положительных чисел, а областью изменения — совокупность всех действительных чисел. О четности или нечетности этой функции говорить не имеет смысла. Функция не является периодической. Если а >1, то при х > 1 функция положительна, а при х < 1 отрицательна (рис. 299).

https://imgprx.livejournal.net/e5f1ddc9ae0f2ea16ff9863e09fcb4941c482fc6/7d2RHgiH5bblG5U0aQzoUdIXfha976VgIyW79dBMdNhm0ttj_9XHfl7tCkUnJMaNYy9nxTrPaBkuUogmRJOD_Rs8jdtjWZlUOFzj1lAyzCM    https://imgprx.livejournal.net/aa0b643991fe83bbbce889a6388e0c95bae80786/7d2RHgiH5bblG5U0aQzoUdIXfha976VgIyW79dBMdNhm0ttj_9XHfl7tCkUnJMaNLeX62F0BoGa4DH9WAU779E14LuSG2ZK7vV2F3unWHOQ

Если же а < 1  то, наоборот, при х > 1 функция отрицательна, а при х < 1 положительна (рис. 300). Единственным нулем логарифмической функции является точка х = 1. При а > 1 эта функция является монотонно возрастающей (рис. 299), а при а < 1 — монотонно убывающей (рис. 300). Локальных экстремумов функция не имеет. Если а >1, то при приближении х к нулю функция неограниченно убывает; если же а < 1, то при приближении х к нулю функция неограниченно возрастает.

Упражнения

По плану, описанному в данном параграфе, исследовать функции (№ 1643—1652):

1643. у = sin² х.

1644. у = sin 2x.

1645. у = — |cos x].

1646. у = sin ( x — ^π/₄ )

1647. у = tg ( x + ^π/₄ ).

1648. у = x² — 4x +5.

1649. у = x² + x — 7.

1650. у = 1 + x — 2x²

1651. у = х √x .

1652. у = https://imgprx.livejournal.net/5deb1b4be311c8234474e12caae3c6d71e7ea0ea/7d2RHgiH5bblG5U0aQzoUdIXfha976VgIyW79dBMdNhm0ttj_9XHfl7tCkUnJMaN0BsuYaAUjfGxMNcCD6GcaPXPqmuXC7HtL25HyFcitnU