Главная » Образование

Старая школа – сайт с избранными учебниками по математике и русскому языку

09:15. 12 марта 2020 793 просмотра 2 коммент. Опубликовал:
Старая школаИскал задания по математике и наткнулся на весьма полезный сайт.

Оговорюсь сразу: на нём также присутствует и русский язык как школьная дисциплина.

Похоже, что сайт с учебниками создан русскими людьми, проживающими в Латвии.

Вот рубрики сайта:

  • Арифметика

  • Алгебра

  • Геометрия

  • Тригонометрия

  • Русский язык.


По каждому разделу учебников немного, но они – одни из лучших. Как царских, так и советских времён. И что особенно ценно – без ПДФа, а если есть картинки с формулами или графиками – то они отличного качества. Чувствуется, что был проделан огромный труд, спасибо этим людям!

Название сайта – „Старая школа”.

В качестве иллюстрации, поместил ниже короткую главку из „Пособия для учителей” авторов Худобиных и Шуршалова, Москва, „Просвещение”, 1973 г.

„Краткий обзор свойств и графиков  ранее   изученных  функций” – весьма полезно освежить в памяти. Ведь такие графики иллюстрируют практически все процессы как в природе, так и в обществе!

§ 210. Краткий обзор свойств и графиков  ранее   изученных  функций

В этом параграфе мы дадим краткий обзор свойств и графиков ранее изученных функций. При этом  мы будем придерживаться   следующего   плана:

1)   область   определения   функции;
2)  область изменения функции;
3)  четность функции;
4)  периодичность функции;
5)  интервалы знакопостоянства;
6)  нули функции, то есть те значения аргумента, при которых функция обращается в нуль;
7)  монотонность функции;
8)  локальные экстремумы функции;
9)  поведение функции вблизи «особых» точек (например, функции  у = 1/x   вблизи    точки х = 0).

Впрочем, порядок этот не является обязательным и в некоторых случаях для пользы дела может быть смело изменен. Отметим лишь, что осуществление каждого пункта плана всегда полезно сопровождать геометрической интерпретацией на графике исследуемой функции.

1. Квадратная функция    у = ax2 + bx + c   (а =/= 0)

Эта функция определена для всех значений х, так что областью ее определения служит совокупность всех действительных чисел. Графиком квадратной функции служит парабола, вершина которой  имеет  координаты    (  ) При а > 0   парабола направлена вверх (рис. 287), а при а < 0 — вниз (рис. 288).

   

Если а > 0, то областью изменения данной функции является совокупность всех чисел, больших или равных ; если же а < 0, то областью изменения ее служит множество всех чисел, меньших или равных  .

При b =/= 0 функция у = ax2 + bx + c  не будет ни четной, ни  нечетной,  поскольку   ни  одно  из равенств

ax2bx + c = ax2 + bx + c,

[f(— х) = f (x)]

и

ax2bx + c = = — (ax2 + bx + c),

[f(— х) = — f (x)]

не выполняется тождественно.

При b = 0 квадратная функция принимает вид у = ax2 + c и потому является четной функцией.

Данная функция  непериодична. Если дискриминант

d = b2 — 4ас

отрицателен, то функция не имеет нулей. В этом случае все ее значения имеют один и тот же знак — знак коэффициента а (см. рис. 289 для а > 0 и рис. 290 для а < 0).

 

Если дискриминант d положителен, то функция имеет два нуля:

Если к тому же а > 0, то функция положительна при х < x1 и х > x2, а отрицательна при x1 < х < x2 (см. рис. 287).

В случае, когда d > 0, а а < 0, функция положительна при x1 < х < x2, а отрицательна при х < x1   и  х > x2 (см. рис. 288).

Наконец, возможен и случай, когда d = 0.  Тогда квадратная функция имеет единственный нуль

x =

При всех значениях х =/=  она сохраняет один и тот же знак — знак коэффициента а.

В случае, когда а > 0, квадратная функция у = ax2 + bx + c

монотонно убывает при х <  и   монотонно   возрастает  при х  > (см. рис. 287 и рис. 289).

В случае,  когда а <. 0, она, наоборот, монотонно возрастает при х  <   и монотонно убывает при   х >    (см. рис. 288 и рис. 290).

Данная функция имеет единственный локальный экстремум

y экстр =

Этот экстремум достигается при х =   и является минимумом при а > 0 (рис. 287 и рис. 289) и максимумом при а < 0 (рис. 288 и рис. 290).

2. Степенная функция   у = хr.

Область определения такой функции зависит от r.

Например, при r = 1 (у = х) это будет совокупность всех действительных   чисел,    при r = 1/2  ( у = √x) — совокупность неотрицательных чисел, при r = 0 ( у = х0 ) — совокупность всех чисел, кроме 0. Для положительных значений х функция у = хr определена всегда, независимо от того, чему равно r.

Область изменения функции у = хr  также зависит от r. Например, функция у = х (r = 1) может принимать все действительные значения, функция у = x2 (r = 2) — только   неотрицательные   значения, а функция у = х0 (r = 0) — лишь одно значение, равное 1.

Среди степенных  функций есть четные и нечетные. Например, функции у = x2, у = x4   — четные, а функции у = x3, у = x—3 — нечетные. Некоторые степенные функции (например, у = √x) определены лишь для неотрицательных значений аргумента. Для них ставить вопрос о четности не имеет смысла.

Степенная функция у = хr непериодична.

При х > 0 степенная функция у = хr  независимо от положительна.

Некоторые степенные функции (например, у = 1/x, у = х—3/2 не имеют нулей, для других же нулем является число 0 (например, для функций у = √x  , у = x3) и т. д.;

Если число r положительно, то при х > 0 степенная функция у = хr монотонно возрастает (рис. 291). Если же r отрицательно, то при х  > 0 степенная функция у = хr монотонно убывает (рис. 292).

 

Некоторые степенные функции, например у = x2, у = x4, имеют локальный минимум в точке х = 0.

Отметим еще поведение функций у = 1/x и у =   вблизи   точки  х = 0.

Когда х  стремится   к   нулю, оставаясь положительным, функция у = 1/x неограниченно возрастает. Когда же х стремится  к нулю,  оставаясь отрицательным,  она неограниченно   убывает (рис. 293).

Функция у =  при приближении х к нулю (как слева,  так и справа) неограниченно возрастает (рис. 294).

3. Тригонометрические функции

Из  тригонометрических  функций   мы  рассмотрим   лишь  две функции: у = sin х   и    у = tg x.

Областью определения функции у = sin х является совокупность всех действительных чисел, а областью изменения — совокупность всех чисел, заключенных в интервале [— 1,1].

Функция является нечетной и периодической с периодом 2π .

В интервалах 2πп < x < π + 2πп  эта функция положительна,
а в интервалах π + 2πп  < x <  2π + 2πп  отрицательна (рис. 295).

При х = πп она обращается в нуль.

В интервалах — π/2 + 2πп < х < π/2 + 2πп функция монотонно возрастает, а в интервалах    π/2 + 2πп < х < 3/2 π + 2πп  монотонно убывает.

Точки х = π/2 + 2πп являются точками локального максимума функции у = sin х . В них она принимает   наибольшие   значения, равные 1. Точки х = — π/2 + 2πп являются точками локального минимума. В них функция принимает наименьшие значения, равные — 1.

Функция у = tg x определена при   всех   значениях х,   кроме х = π/2 + πп. Областью ее изменения является совокупность всех действительных чисел.

Эта функция нечетна и периодична с периодом π (рис. 296).

В интервалах πп < х < π/2 + πп она положительна, а в интервалах — π/2 + πп < х < πп отрицательна. При х = πп функция обращается в нуль. В каждом интервале, не содержащем точек х = π/2 + πп, эта функция монотонно возрастает. Локальных экстремумов функция не имеет. Когда значения х неограниченно приближаются к π/2 + πп, оставаясь меньше π/2 + πп, значения функции у = tg x неограниченно возрастают. Когда же значения х неограниченно приближаются  к π/2 + πп, оставаясь больше этих значений, функция у = tg x неограниченно убывает.

4.  Показательная функция   у = ах    (а >0,  а =/= 1)

Областью определения этой функции  является совокупность всех действительных чисел, а областью изменения — совокупность всех положительных чисел. Функция не является ни четной, ни нечетной. Не является она и периодической. При всех значениях аргумента х эта функция положительна. При а > 1 показательная функция у = ах является монотонно возрастающей (рис. 297), а при а < 1 — монотонно убывающей (рис. 298). Точек локальных экстремумов функция не имеет.

5. Логарифмическая функция у = loga x    (а >0,  а =/= 1)

Областью определения этой функции является совокупность всех положительных чисел, а областью изменения — совокупность всех действительных чисел. О четности или нечетности этой функции говорить не имеет смысла. Функция не является периодической. Если а >1, то при х > 1 функция положительна, а при х < 1 отрицательна (рис. 299).

  

Если же а < 1  то, наоборот, при х > 1 функция отрицательна, а при х < 1 положительна (рис. 300). Единственным нулем логарифмической функции является точка х = 1. При а > 1 эта функция является монотонно возрастающей (рис. 299), а при а < 1 — монотонно убывающей (рис. 300). Локальных экстремумов функция не имеет. Если а >1, то при приближении х к нулю функция неограниченно убывает; если же а < 1, то при приближении х к нулю функция неограниченно возрастает.

Упражнения

По плану, описанному в данном параграфе, исследовать функции (№ 1643—1652):

1643. у = sin2 х.

1644. у = sin 2x.

1645. у = — |cos x].

1646. у = sin ( x π/4 )

1647. у = tg ( x + π/4 ).

1648. у = x2 — 4x +5.

1649. у = x2 + x — 7.

1650. у = 1 + x — 2x2

1651. у = х x .

1652. у =

Если кто-то испытывает ностальгию по творчеству в ранней молодости, то, пожалуйста: вот несложная задачка из одного учебника с вышеупомянутого сайта. Как говорится, бог в помощь!

0464.  От двух кусков сплава одинакового веса, но с различным процентным содержанием меди, отрезали по куску равного  веса. Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого куска, после  чего  процентное  содержание  меди в  обоих  кусках   стало одинаковым.   Во сколько  раз  отрезанный   кусок  меньше целого куска?

***


.

Метки: математика, образование, русский, советский, царизм, школа, язык

2 Комментария » Оставить комментарий


  • 3047 2871

    Сейчас везде можно купить,без проблем.Очень хорош-учебник “логика”и учебники для младших классов.

  • 678 614

    “Упражнение 212. Спишите стихотворение и вы-
    учите его наизусть.

    Славься, наша родина,
    Советская земля!
    Здесь все пути народные
    собрались у Кремля.”
    ——————————————————–
    В. Г. ПОЛЯКОВ и В. М. ЧИСТЯКОВ
    РУССКИЙ ЯЗЫК
    ГРАММАТИКА. ПРАВОПИСАНИЕ, РАЗВИТИЕ РЕЧИ
    УЧЕБНИК
    ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 1-го КЛАССА НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЫ
    ИЗДАНИЕ ВОСЬМОЕ
    Утверждён Министерством просвещения РСФСР
    ГОСУДАРСТВЕННОЕ
    УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
    МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
    МОСКВА 1 9 52

Оставить комментарий

Вы вошли как Гость. Вы можете авторизоваться

Будте вежливы. Не ругайтесь. Оффтоп тоже не приветствуем. Спам убивается моментально.
Оставляя комментарий Вы соглашаетесь с правилами сайта.

(Обязательно)