Некоторые приёмы устного счёта
Сегодня каждый из нас носит с собой калькулятор. Тот который встроен в телефон.
https://ic.pics.livejournal.com/ss69100/44650003/3748377/3748377_600.jpg
С одной стороны, это устройство немного облегчает нашу повседневную жизнь и позволяет школьникам выполнять домашние задания.
Но, увы, в этом удобстве есть и обратная, явно отрицательная сторона. Когда мы перестаем считать в уме, мы снижаем уровень активности нашего мозга. Поэтому, как и в случае с мышцами, чем меньше нагрузка, тем активнее идет процесс деградации, будь то в мышцах или в мозге.
Для развития последнего совершенно необходима постоянная интеллектуальная деятельность. А чтобы хоть как-то исправить ситуацию – давайте вспомним некоторые приемы устного счета, введем их в действие и будем использовать в повседневной жизни. Таким образом, мы повысим свой интеллектуальный тонус.
Для многих некоторые приемы ранее были совершенно неизвестны: к сожалению, не все школьные учителя математики о них рассказывают. Ну а тем, кто знал эти приемы, будет полезно их вспомнить.
Итак, приступим.
Первый способ : умножить четное число на число, оканчивающееся на 5. То есть на 5, 15, 25, 35 и т. д.
https://ic.pics.livejournal.com/ss69100/44650003/3748377/3748377_600.jpg
С одной стороны, это устройство немного облегчает нашу повседневную жизнь и позволяет школьникам выполнять домашние задания.
Но, увы, в этом удобстве есть и обратная, явно отрицательная сторона. Когда мы перестаем считать в уме, мы снижаем уровень активности нашего мозга. Поэтому, как и в случае с мышцами, чем меньше нагрузка, тем активнее идет процесс деградации, будь то в мышцах или в мозге.
Для развития последнего совершенно необходима постоянная интеллектуальная деятельность. А чтобы хоть как-то исправить ситуацию – давайте вспомним некоторые приемы устного счета, введем их в действие и будем использовать в повседневной жизни. Таким образом, мы повысим свой интеллектуальный тонус.
Для многих некоторые приемы ранее были совершенно неизвестны: к сожалению, не все школьные учителя математики о них рассказывают. Ну а тем, кто знал эти приемы, будет полезно их вспомнить.
Итак, приступим.
Первый способ : умножить четное число на число, оканчивающееся на 5. То есть на 5, 15, 25, 35 и т. д.
https://ic.pics.livejournal.com/ss69100/44650003/3748629/3748629_600.jpg
Умножить число на 5.
Разделите искомое число на 2 и умножьте результат на 10. Всё.
Пример 1
144 x 5 = 144 : 2 x 10 = 720
Пример 2
8566 x 5 = 8566 : 2 x 10 = 42830
Пример 3
1247 x 5 = 623,5 x 10 = 6235
*
Умножить на 15
Это очень просто: прибавить к заданному числу его половину и умножить результат на 10.
Пример 1.
46 х 15 = (46 + 46 : 2) х 10 = (46 + 23) х 10 = 690.
Пример 2.
168 х 15 = (168 : 2 + 168) х 10 = (84 + 168) х 10 = 2520
Пример 3.
5045 х 15 = (2522,5 + 5045) х 10 = 75675.
Аналогично выполняется умножение на 25, 35 и т.д. Множитель без пятерки в конце умножаем соответственно на 2, 3 и т.д. и добавляем половину этого множителя к произведению.
Пример 1.
46 х 25 = (46 х 2 + 46 : 2) х 10 = (92 + 23) х 10 = 1150.
Дополнение. Если умножаем число на 25, то проще разделить его на 4 и умножить результат на 100, что совсем несложно.
46 х 25 = 46 : 4 х 100 = 46 : 2 : 2 х 100 = 2300 : 2 = 1150.
Пример 2.
168 х 35 = (168 х 3 + 168 : 2) х 10 = (504 + 84) х 10 = 5880.
Пример 3.
8407 х 45 = (33628 + 4203,5) х 10 = 378315.
Замечание.
Нередко при умножении чётного числа на число, заканчивающееся пятёркой оптимальным может быть и следующий метод: чётное делим на 2, а число с пятёркой удваиваем. Таким образом мы уменьшаем количество цифр, если не брать в расчёт конечный ноль в числе после его удвоения.
Пример 1
182 х 45 = 182 : 2 х 45 х 2 = 91 х 90 = 8190.
Пример 2
9644 х 35
Делим левый множитель на два, 35 удваиваем и получаем выражение, где умножение на 7 можно спокойно произвести устно, записывая результат справа налево.
9644 х 35 = 4822 х 70 = 337540.
*
Второй способ облегчения счета в уме – возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 5.
Пример 1.
Допустим, нам нужно возвести в квадрат 75. Берем число десятков, т.е. 7, прибавляем к нему единицу и перемножаем: для будущего ответа получим сколько-то сотен. И прибавляем к результату 25.
(7 + 1) х 7 = 56. 5600 + 25 = 5625.
Ответ: 5625.
Пример 2.
Возведем в квадрат число 105. 10 + 1 = 11. Тогда 10 х 11 = 110.
Ответ: 11025.
Пример 3.
Возведем в квадрат число 155. 15 + 1 = 16. 16 х 15 = 240.
Ответ: 24025
**
Третий прием заключается в возведении в квадрат чисел, не сильно отличающихся от 50.
Возможны два случая: число больше 50 или меньше него.
1). Наше число больше 50. Здесь мы будем работать с превышением числа над 50.
Пример 1.
Возведем в квадрат 57. Превышение над 50 равно 7. Прибавляем 7 к 25, получаем 32, а это сотни будущего ответа. Затем к результату прибавляем квадрат 7. Получаем 3249.
(25 + 7) х 100 + 7 х 7 = 3249.
Пример 2.
63 х 63 = (25 + 13) х 100 + 13 х 13 = 3800 + 169 = 3969.
*
2). Ищем квадрат числа меньшего 50. Работать будем с дополнением нашего числа до 50. В отличие от предыдущего случая, мы будем вычитать это дополнение из 25.
Пример 1 .
38 х 38 = (25 – 12) х 100 + 12 х 12 = 1300 + 144 = 1444.
Пример 2.
44 х 44 = (25 – 6) х 100 + 6 х 6 = 1900 + 36 = 1936.
Четвертый прием – умножение чисел, мало отличающихся от 100.
Здесь мы рассмотрим три случая: оба числа меньше 100, больше 100 и одно больше, а другое меньше 100.
1). Оба множителя меньше 100. Здесь будем работать с дополнениями до сотни.
Из одного из наших чисел вычитаем дополнение другого до ста. Умножим полученную разность на 100 и добавим произведение дополнений.
Пример 1.
97 х 89 = (97 – 11) х 100 + 3 х 11 = 8600 + 33 = 8633.
Или так:
97 х 89 = (89 – 3) х 100 + 3 х 11 = 8600 + 33 = 8633
Пример 2.
85 х 92 = (85 – 8) х 100 + 15 х 8 = 7700 + 120 = 7820.
2). Оба множителя больше 100. Здесь будем работать с превышением сотни.
Пример 1.
106 х 109 = (106 + 9) х 100 + 6 х 9 = 11500 + 54 = 11554.
Пример 2.
109 х 116 = (109 + 16) х 100 + 9 х 16 = 12500 + 144 = 12644.
Пример 3.
148 х 115 = (148 + 15) х 100 + 48 х 15 = 16300 + 720 = 17020.
2). Одно число больше ста, а другое меньше.
В этом случае мы либо вычитаем из большего числа дополнение меньшего числа до 100, либо прибавляем к меньшему избыток другого числа над сотней.
Затем во всех случаях вычитаем произведение дополнения на избыток.
Пример 1.
103 х 95 = (103 – 5) х 100 – 3 х 5 = 9800 – 15 = 9785.
Или так:
103 х 95 = (95 + 3) х 100 – 3 х 5 = 9800 – 15 = 9785
Пример 2.
208 х 89 = (208 – 11) х 100 – 108 х 11 = 19700 – 1188 = 18512.
Пятый приём - умножение на 11.
Этот метод удобно использовать, когда у вас перед глазами есть запись требуемого умножения. Результат начинаем считать и записывать с конца числа, то есть с единиц.
Алгоритм такой: пишем крайнюю правую цифру, потом возвращаемся к своему числу и добавляем соседнюю с крайней правой. Записываем полученную сумму, и если есть переполнение, запоминаем единицу. Затем двигаемся влево еще на один шаг и так далее.
Пример 1.
Предположим, нам нужно умножить 249 на 11.
После знака равенства, оставив достаточно места, пишем 9.
249 х 11 = *** 9.
Затем прибавляем 4 к 9, получаем 13, перед девяткой пишем три, а один запоминаем.
249 x 11 = **39.
Далее к 4 прибавляем 2, а также запомненную единицу. Пишем 7 в ответ.
249 x 11 = * 739.
Наконец, пишем перед семёркой 2 (в принципе, и здесь можно следовать алгоритму: прибавить к двойке цифру, стоящую слева от неё, т.е. ноль).
Пример 2.
8524 x 11 = ****4.
8524 x 11 = ***64.
8524 x 11 = **764.
8524 x 11 = * 3764 и здесь мы запоминаем 1, т.к. 5 + 8 = 13.
8524 x 11 = 93764.
Exemple 3.
Ниже – иллюстрация того, как, имея число перед глазами, легко его умножить на 11, последовательно вписывая цифры в ответ справа налево!
123456789 x 11 = 1358024679.
Конечно, это не исчерпывающий список всех возможных способов облегчить счет. Возможно, мы продолжим публиковать материал по… арифметической грамотности!
***
.
Умножить число на 5.
Разделите искомое число на 2 и умножьте результат на 10. Всё.
Пример 1
144 x 5 = 144 : 2 x 10 = 720
Пример 2
8566 x 5 = 8566 : 2 x 10 = 42830
Пример 3
1247 x 5 = 623,5 x 10 = 6235
*
Умножить на 15
Это очень просто: прибавить к заданному числу его половину и умножить результат на 10.
Пример 1.
46 х 15 = (46 + 46 : 2) х 10 = (46 + 23) х 10 = 690.
Пример 2.
168 х 15 = (168 : 2 + 168) х 10 = (84 + 168) х 10 = 2520
Пример 3.
5045 х 15 = (2522,5 + 5045) х 10 = 75675.
Аналогично выполняется умножение на 25, 35 и т.д. Множитель без пятерки в конце умножаем соответственно на 2, 3 и т.д. и добавляем половину этого множителя к произведению.
Пример 1.
46 х 25 = (46 х 2 + 46 : 2) х 10 = (92 + 23) х 10 = 1150.
Дополнение. Если умножаем число на 25, то проще разделить его на 4 и умножить результат на 100, что совсем несложно.
46 х 25 = 46 : 4 х 100 = 46 : 2 : 2 х 100 = 2300 : 2 = 1150.
Пример 2.
168 х 35 = (168 х 3 + 168 : 2) х 10 = (504 + 84) х 10 = 5880.
Пример 3.
8407 х 45 = (33628 + 4203,5) х 10 = 378315.
Замечание.
Нередко при умножении чётного числа на число, заканчивающееся пятёркой оптимальным может быть и следующий метод: чётное делим на 2, а число с пятёркой удваиваем. Таким образом мы уменьшаем количество цифр, если не брать в расчёт конечный ноль в числе после его удвоения.
Пример 1
182 х 45 = 182 : 2 х 45 х 2 = 91 х 90 = 8190.
Пример 2
9644 х 35
Делим левый множитель на два, 35 удваиваем и получаем выражение, где умножение на 7 можно спокойно произвести устно, записывая результат справа налево.
9644 х 35 = 4822 х 70 = 337540.
*
Второй способ облегчения счета в уме – возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 5.
Пример 1.
Допустим, нам нужно возвести в квадрат 75. Берем число десятков, т.е. 7, прибавляем к нему единицу и перемножаем: для будущего ответа получим сколько-то сотен. И прибавляем к результату 25.
(7 + 1) х 7 = 56. 5600 + 25 = 5625.
Ответ: 5625.
Пример 2.
Возведем в квадрат число 105. 10 + 1 = 11. Тогда 10 х 11 = 110.
Ответ: 11025.
Пример 3.
Возведем в квадрат число 155. 15 + 1 = 16. 16 х 15 = 240.
Ответ: 24025
**
Третий прием заключается в возведении в квадрат чисел, не сильно отличающихся от 50.
Возможны два случая: число больше 50 или меньше него.
1). Наше число больше 50. Здесь мы будем работать с превышением числа над 50.
Пример 1.
Возведем в квадрат 57. Превышение над 50 равно 7. Прибавляем 7 к 25, получаем 32, а это сотни будущего ответа. Затем к результату прибавляем квадрат 7. Получаем 3249.
(25 + 7) х 100 + 7 х 7 = 3249.
Пример 2.
63 х 63 = (25 + 13) х 100 + 13 х 13 = 3800 + 169 = 3969.
*
2). Ищем квадрат числа меньшего 50. Работать будем с дополнением нашего числа до 50. В отличие от предыдущего случая, мы будем вычитать это дополнение из 25.
Пример 1 .
38 х 38 = (25 – 12) х 100 + 12 х 12 = 1300 + 144 = 1444.
Пример 2.
44 х 44 = (25 – 6) х 100 + 6 х 6 = 1900 + 36 = 1936.
Четвертый прием – умножение чисел, мало отличающихся от 100.
Здесь мы рассмотрим три случая: оба числа меньше 100, больше 100 и одно больше, а другое меньше 100.
1). Оба множителя меньше 100. Здесь будем работать с дополнениями до сотни.
Из одного из наших чисел вычитаем дополнение другого до ста. Умножим полученную разность на 100 и добавим произведение дополнений.
Пример 1.
97 х 89 = (97 – 11) х 100 + 3 х 11 = 8600 + 33 = 8633.
Или так:
97 х 89 = (89 – 3) х 100 + 3 х 11 = 8600 + 33 = 8633
Пример 2.
85 х 92 = (85 – 8) х 100 + 15 х 8 = 7700 + 120 = 7820.
2). Оба множителя больше 100. Здесь будем работать с превышением сотни.
Пример 1.
106 х 109 = (106 + 9) х 100 + 6 х 9 = 11500 + 54 = 11554.
Пример 2.
109 х 116 = (109 + 16) х 100 + 9 х 16 = 12500 + 144 = 12644.
Пример 3.
148 х 115 = (148 + 15) х 100 + 48 х 15 = 16300 + 720 = 17020.
2). Одно число больше ста, а другое меньше.
В этом случае мы либо вычитаем из большего числа дополнение меньшего числа до 100, либо прибавляем к меньшему избыток другого числа над сотней.
Затем во всех случаях вычитаем произведение дополнения на избыток.
Пример 1.
103 х 95 = (103 – 5) х 100 – 3 х 5 = 9800 – 15 = 9785.
Или так:
103 х 95 = (95 + 3) х 100 – 3 х 5 = 9800 – 15 = 9785
Пример 2.
208 х 89 = (208 – 11) х 100 – 108 х 11 = 19700 – 1188 = 18512.
Пятый приём - умножение на 11.
Этот метод удобно использовать, когда у вас перед глазами есть запись требуемого умножения. Результат начинаем считать и записывать с конца числа, то есть с единиц.
Алгоритм такой: пишем крайнюю правую цифру, потом возвращаемся к своему числу и добавляем соседнюю с крайней правой. Записываем полученную сумму, и если есть переполнение, запоминаем единицу. Затем двигаемся влево еще на один шаг и так далее.
Пример 1.
Предположим, нам нужно умножить 249 на 11.
После знака равенства, оставив достаточно места, пишем 9.
249 х 11 = *** 9.
Затем прибавляем 4 к 9, получаем 13, перед девяткой пишем три, а один запоминаем.
249 x 11 = **39.
Далее к 4 прибавляем 2, а также запомненную единицу. Пишем 7 в ответ.
249 x 11 = * 739.
Наконец, пишем перед семёркой 2 (в принципе, и здесь можно следовать алгоритму: прибавить к двойке цифру, стоящую слева от неё, т.е. ноль).
Пример 2.
8524 x 11 = ****4.
8524 x 11 = ***64.
8524 x 11 = **764.
8524 x 11 = * 3764 и здесь мы запоминаем 1, т.к. 5 + 8 = 13.
8524 x 11 = 93764.
Exemple 3.
Ниже – иллюстрация того, как, имея число перед глазами, легко его умножить на 11, последовательно вписывая цифры в ответ справа налево!
123456789 x 11 = 1358024679.
Конечно, это не исчерпывающий список всех возможных способов облегчить счет. Возможно, мы продолжим публиковать материал по… арифметической грамотности!
***
.
Поделиться:
Записи на схожие темы
Надо запретить ЕГЭ и запретить пользоваться калькуляторами даже взрослым.