А не подучить ли нам логику? – 2

Традиционная и современная логика

  История логики охватывает около двух с половиной тысячелетий. «Старше» формальной логики, пожалуй, только философия и математика.

В длинной и богатой событиями истории развития логики отчётливо выделяются два основных этапа. Первый – от древнегреческой логики до возникновения во второй половине прошлого века современной логики. Второй – с этого времени до наших дней.

На первом этапе, обычно называемом традиционной логикой, формальная логика развивалась очень медленно. Обсуждавшиеся в ней проблемы мало чем отличались от проблем, поставленных ещё Аристотелем. Это дало повод немецкому философу И.Канту (1724-1804) в своё время придти к выводу, что формальная логика является завершённой наукой, не продвинувшейся со времени Аристотеля ни на один шаг.

Кант не заметил, что ещё с XVII в. стали назревать предпосылки для научной революции в логике. Именно в это время получила ясное выражение идея представить доказательство как вычисление, подобное вычислению в математике.

Эта идея связана главным образом с именем немецкого философа и математика Г.Лейбница (1646-1716). По Лейбницу, вычисление суммы или разности чисел осуществляется на основе простых правил, принимающих во внимание только форму чисел, а не их смысл.

Результат вычисления однозначно предопределяется этими, не допускающими разночтения правилами, и его нельзя оспорить.

http://wiki.kab.info/images/1/1c/Leibniz.jpgЛейбниц мечтал о времени, когда умозаключение будет преобразовано в вычисление. Когда это случится, споры, обычные между философами, станут так же невозможны, как невозможны они между вычислителями. Вместо спора они возьмут в руки перья и скажут: «Будем вычислять».

Идеи Лейбница не оказали, однако, заметного влияния на его современников. Энергичное развитие логики началось позже, в XIX в.

Немецкий математик и логик Г.Фреге (1848-1925) в своих работах стал применять формальную логику для исследования оснований математики. Фреге был убеждён, что «арифметика есть часть логики и не должна заимствовать ни у опыта, ни у созерцания никакого обоснования». Пытаясь свести математику к логике, он реконструировал последнюю. Логическая теория Фреге – провозвестник всех нынешних теорий правильного рассуждения.

Идея сведения всей чистой математики к логике была подхвачена английским логиком и философом Б.Расселом (1872-1970). Но последующее развитие логики показало неосуществимость этой грандиозной по своему замыслу попытки. Она привела, однако, к сближению математики и логики и к широкому проникновению плодотворных методов первой во вторую.

В России в конце прошлого – начале нынешнего века, когда научная революция в логике набрала силу, ситуация была довольно сложной. И в теории, и в практике преподавания господствовала так называемая «академическая логика», избегавшая острых проблем и постоянно подменявшая науку логику невнятно изложенной методологией науки, истолкованной к тому же по заимствованным и устаревшим образцам. И тем не менее были люди, стоявшие на уровне достижений логики своего времени и внёсшие в её развитие важный вклад.

Прежде всего это доктор астрономии Казанского университета, логик и математик П.С.Порецкий. Сдержанное общее отношение к математической логике, разделявшееся многими русскими математиками, во многом осложнило его творчество. Часть своих работ он вынужден был опубликовать за границей.

Но его идеи оказали в конечном счёте существенное влияние на развитие алгебраически трактуемой логики как в нашей стране, так и за рубежом. Порецкий первым в России начал читать лекции по современной логике, о которой он говорил, что это «по предмету своему есть логика, а по методу математика». Исследования Порецкого продолжают оказывать стимулирующее влияние на развитие алгебраических теорий логики и в наши дни.

Одним из первых (ещё в 1910 г.) сомнения в неограниченной приложимости логического закона противоречия, о котором пойдёт речь далее, высказал логик Н.А.Васильев. «Предположите, – говорил он, – мир осуществлённого противоречия, где противоречия выводились бы, разве такое познание не было бы логическим?» Васильев, подобно Ломоносову, наряду с научными статьями, писал порой и стихи. В них своеобразно преломлялись его логические идеи, в частности идея воображаемых (возможных) миров:

…Мне грезится безвестная планета,
Где все идёт иначе, чем у нас.

В качестве логики воображаемого мира он предложил свою теорию без закона противоречия, долгое время считавшегося центральным принципом логики. Васильев полагал необходимым ограничить и действие закона исключённого третьего, о котором также говорится в дальнейшем. В этом смысле Васильев явился одним из идейных предшественников логики наших дней. Идеи Васильева при его жизни подвергались жёсткой критике, в результате он оставил занятия логикой.

Потребовалось полвека, прежде чем его «воображаемая логика» без законов противоречия и исключённого третьего была оценена по достоинству.

Идеи, касающиеся ограниченной приложимости закона исключённого третьего и близких ему способов математического доказательства, были развиты математиками А.Н.Колмогоровым, В.А.Гливенко, А.А.Марковым и др. В результате возникла так называемая конструктивная логика, считающая неправомерным перенос ряда логических принципов, применимых в рассуждениях о конечных множествах, на область бесконечных множеств.

Известный русский физик П.Эренфест первым высказал гипотезу о возможности применения современной ему логики в технике. В 1910 г. он писал:

«Символическая формулировка даёт возможность „вычислять“ следствия из таких сложных систем посылок, в которых при словесном изложении почти или совершенно невозможно разобраться. Дело в том, что в физике и технике действительно существуют такие сложные системы посылок.
Пример: пусть имеется проект схемы проводов автоматической телефонной станции. Надо определить:

1) будет ли она правильно функционировать при любой комбинации, могущей встретиться в ходе деятельности станции;

2) не содержит ли она излишних усложнений. Каждая такая комбинация является посылкой, каждый маленький коммутатор есть логическое „или-или“, воплощённое в эбоните и латуни; все вместе – система чисто качественных (сети слабого тока, поэтому не количественных) „посылок“, ничего не оставляющая желать в отношении сложности и запутанности.

Следует ли при решении этих вопросов раз и навсегда удовлетвориться рутинным способом преобразования на графике?

Правда ли, что, несмотря на существование уже разработанной алгебры логики, своего рода „алгебра распределительных схем“ должна считаться утопией?»

В дальнейшем гипотеза Эренфеста получила воплощение в теории релейно-контактных систем.

В общем, оглядываясь на историю распространения логики, можно сказать, что лучшие русские логики всегда стремились стоять на уровне современных им мировых теорий и концепций, органически чуждаясь всякого рода логического сектантства и сепаратизма.

Современную логику нередко называют математической, подчёркивая тем самым своеобразие новых её методов в сравнении с использовавшимися ранее в традиционной логике.

Одна из характерных черт этих методов – широкое использование разнообразных символов вместо слов и выражений обычного языка. Символы применял в ряде случаев ещё Аристотель, а затем и все последующие логики. Однако теперь в использовании символики был сделан качественно новый шаг. В логике стали использоваться специально построенные языки, содержащие только специальные символы и не включающие ни одного слова обычного разговорного языка.

Широкое использование символических средств послужило основанием того, что, новую логику стали называть символической. Названия «математическая логика» и «символическая логика», обычно употребляемые и сейчас, обозначают одно и то же – современную формальную логику. Она занимается тем же, чем всегда занималась логика – исследованием правильных способов рассуждения.

Современная логика и другие науки
С момента своего возникновения логика была самым тесным образом связана с философией.

В течение многих веков логика считалась, подобно психологии, одной из«философских наук». И только во второй половине xix в. формальная – к этому времени уже математическая – логика «отпочковалась», как принято выражаться, от философии.

Примерно в это же время от философии отделилась и стала самостоятельной научной дисциплиной психология. Но если отделение психологии было связано прежде всего с проникновением в неё опыта и эксперимента и сближением её с другими эмпирическими науками, то в отделении логики решающую роль сыграло проникновение в неё математических методов и сближение с математикой.

Математическая логика возникла, в сущности, на стыке двух столь разных наук, как философия, или точнее – философская логика, и математика. И тем не менее, взаимосвязь новой логики с философией не только не оборвалась, но, напротив, парадоксальным образом даже окрепла. Обращение к философии является необходимым условием прояснения логикой своих оснований. С другой стороны, использование в философии понятий, методов и аппарата современной логики несомненно способствует более ясному пониманию самих философских понятий, принципов и проблем.

Тесная связь современной логики с математикой придаёт особую остроту вопросу о взаимных отношениях этих двух наук. Среди многих точек зрения, высказывавшихся по этому поводу, были и две крайних, ведущих в общем-то к тому же самому конечному результату – объединению математики и логики в единую научную дисциплину, сведению их в одну науку.

Согласно Г.Фреге, Б.Расселу и их последователям, математика и логика – это всего лишь две ступени в развитии той же самой науки. Математика может быть полностью сведена к логике, и такое чисто логическое обоснование математики позволит установить её истинную и наиболее глубокую природу. Этот подход к обоснованию математики получил название логицизма.

Сторонники логицизма добились определённых успехов в прояснении основ математики. В частности, было показано, что математический словарь сводится к неожиданно краткому перечню основных понятий, которые принадлежат словарю чистой логики. Вся существующая математика была сведена к сравнительно простой и унифицированной системе исходных, принимаемых без доказательства положений, или аксиом, и правил вывода из них следствий, или теорем.

Однако в целом логицизм оказался утопической концепцией. Математика не сводима к логике, поскольку для построения математики необходимы аксиомы, устанавливающие существование в реальности определённых объектов. Но такие аксиомы имеют уже внелогическую природу.

Другой формой объединения математики и логики в одну науку было объявление математической, или современной, логики одним из разделов современной математики. Многие математики и сейчас ещё считают главной – если не единственной – задачей математической логики уточнение понятия математического доказательства.

Тенденция включать математическую логику в число математических дисциплин и видеть в ней только теорию математического доказательства является, конечно, ошибочной. На самом деле задачи логики гораздо шире. Она исследует основы всякого правильного рассуждения, а не только строгого математического доказательства, и её интересует связь между посылками и следствиями в любых областях рассуждения и познания.

Современная логика тесно связана также с кибернетикой – наукой о закономерностях управления процессами и системами в любых областях: в технике, в живых организмах, в обществе.

Основоположник кибернетики, американский математик Н.Винер не без оснований подчёркивал, что само возникновение кибернетики было бы немыслимо без математической логики.

Автоматика и электронно-вычислительная техника, применяемые в кибернетике, были бы невозможны без использования алгебры логики – этого возникшего первым раздела современной логики. В управляющих системах, применяемых в кибернетике, значительное место занимают релейно-контактные схемы, моделирующие логические операции.

Описание таких операций, даваемое логикой, способствует детальному анализу логического строения мысли и открывает поразительные перспективы автоматизации логических процессов.

Помимо кибернетики современная логика находит широкие приложения и во многих других областях науки и техники.